ъглополовяща - бисектриса в триъгълник, успоредник, трапец

ъглополовяща в успоредник
ъглополовяща - медиана
ъглополовяща - страни на триъгълник
ъглополовяща - вписана окръжност

Нека имаме ъгъл с връх A. Лъчът с начало върха на ъгъла, разделящ този ъгъл на две равни части, два равни ъгъла ще наричаме ъглополовяща или бисектриса.
За всяка точка от една ъглополовяща е вярно твърдението, че се намира на равни разстояния от раменете на същия ъгъл.
В триъгълник пресечната точка на 3-те ъглополовящи е и център вписаната в триъгълника окръжност.
В триъгълник ъглополовяща разделя срещулежащата страна на отсечки в отношение на прилежащите към тях страни - a=m+n m/n = b/c
Подобно отношение се получава и за ъглополовящи на външните ъгли в триъгълник.
В равнобедрен триъгълник височина към основата съвпада с медиана и ъглополовяща.
Две ъглополовящи спуснати от прилежащите ъгли на една и съща страна в успоредник са взаимно перпендикулярни.
В трапец центъра на вписаната окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите му.

Начало на страницата

ъглополовяща в успоредник

Даден е успоредник ABCD с въведена дължина на основата AB. От двата прилежащи ъгъла на страна AB са спуснати ъглополовящи AF и BE. Въведена е и дължина на отсечка EF, където т.Е и т.F са другите два края на тези ъглополовящи. Търсим периметър на този успоредник.

Алгоритъм:
Да припомним в успоредник сумата от два прилежащи ъгъла към една и съща страна е 180 градуса, а срещулежащите страни в успоредник са две по две успоредни и равни.
Ще използваме едно от свойствата на ъглополовяща за търсене на равнобедрен триъгълник. Разглеждаме триъгълник AFD - той е равнобедрен, т.к. ъгъл FAD = AFD
Страната FD = DE + EF
Разглеждаме триъгълник BEC - той е равнобедрен, т.к. ъгъл EBC = BEC
Страната CE = CF + EF
От свойство на успоредник AD = BC
CE = FD, т.е. DE + EF = CF + EF. Следователно: DE = CF = 0.5*(AB - EF)
AD = DE +EF;
Периметър на успоредник P = 2*(AB + AD)

Следващата примерна програма дава решена задача за ъглополовяща в успоредник:

#include <iostream>
using namespace std;

int main ()
{ double ab,ef,de,ad,P; 
 cout<<"Imame usporednik ABCD, w kojto sa izchertani yglopolowqshi\n";
 cout<<"AF i BE. Wywedeni sa dylvini za AB i EF.\n"; 
 cout<<"Tyrsim perimetyr na tozi usporednik.\n";
 cout<<"Primer: AB = 20, EF = 4 Izhod P = 64 \n";
 cout<<"Wywedete strana na usporednika AB: "; cin>>ab; 
 cout<<"Wywedete otsechka EF: ";
 cin>>ef; 
 de = (ab-ef)/2;
 ad= de+ef;
 P = 2*(ab+ad);  
 cout<<"perimetyr na usporednik "<<P<<endl;
system ("pause");
return 0;
}//kraj na programa yglopolowqsha w usporednik 

Начало на страницата

ъглополовяща - медиана

Имаме триъгълник ABC, за който са въведени дължини на неговите медиани ma, mb, mc. Търсим дължините на неговите ъглополовящи la, lb,lc

Алгоритъм
Ще означим страните на триъгълника с a,b,c.
Така:
a = 2*sqrt(2*mb*mb + 2*mc*mc - ma*ma)/3
b = 2*sqrt(2*ma*ma + 2*mc*mc - mb*mb)/3
c = 2*sqrt(2*ma*ma + 2*mb*mb - mc*mc)/3
p - полупериметър за триъгълник ABC
p = (a+b+c)/2
Ще ползваме следните формули за изчисляване дължина на ъглополовящи:
la = 2*sqrt(b*c*p*(p-a))/(b+c) - ъглополовяща към страна a
lb = 2*sqrt(a*c*p*(p-b))/(a+c) - ъглополовяща към страна b
lc = 2*sqrt(a*b*p*(p-c))/(a+b) - ъглополовяща към страна c
Друг вариант, без предварително изчисляване на периметъра:
la = sqrt(b*c- b*c*a*a/((b+c)*(b+c))) - ъглополовяща към страна a
lb = sqrt(a*c- c*a*b*b/((a+c)*(a+c))) - ъглополовяща към страна b
lc = sqrt(a*b- a*b*c*c/((a+b)*(a+b))) - ъглополовяща към страна c
Следващата примерна програма дава решена задача за медиана - ъглополовяща:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{ double a,b,c,p,la,lb,lc,ma,mb,mc;
 cout<<"Imame triygylnik ABC s wywedeni dylvini na mediani ma,mb,mc.\n";
 cout<<"Tyrsim dylvini na negowite mediani la, lb, lc.\n";
 cout<<"Primer:ma=3,mb=4,mc=5 Izhod:la=2.85998 lb=3.68843 lc=4.96237  \n";
 cout<<"Wywedete mediana ma: ";cin>>ma; 
 cout<<"Wywedete mediana mb: "; cin>>mb;
 cout<<"Wywedete mediana mc: "; cin>>mc;
 a = 2*sqrt(2*mb*mb + 2*mc*mc - ma*ma)/3;
 b = 2*sqrt(2*ma*ma + 2*mc*mc - mb*mb)/3;
 c = 2*sqrt(2*ma*ma + 2*mb*mb - mc*mc)/3; 
 p=(a+b+c)/2;
 la = 2*sqrt(b*c*p*(p-a))/(b+c);
 cout<<" yglopolowqsha la: "<<la<<endl;
 lb = 2*sqrt(a*c*p*(p-b))/(a+c); 
cout<<" yglopolowqsha lb: "<<lb<<endl;
 lc = 2*sqrt(a*b*p*(p-c))/(a+b);  
cout<<" yglopolowqsha lc: "<<lc<<endl;
  la = sqrt(b*c- b*c*a*a/((b+c)*(b+c))); 
 cout<<" yglopolowqsha la: "<<la<<endl;
  lb = sqrt(a*c- c*a*b*b/((a+c)*(a+c))); 
  cout<<" yglopolowqsha lb: "<<lb<<endl;
  lc = sqrt(a*b- a*b*c*c/((a+b)*(a+b))); 
  cout<<" yglopolowqsha lc: "<<lc<<endl;
system ("pause");
return 0;
}//programa mediana - yglopolowqsha 

Начало на страницата

ъглополовяща - страни на триъгълник

Имаме триъгълник ABC, за който са въведени дължини на неговите страни a, b и c. От връх А се прекарана ъглополовяща AL, деляща страната BC на отсечки BL и CL. Търсим дължините на отсечките BL и CL.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{ double a,b,c,m,n,k;
 cout<<"Imame triygylnik ABC s wywedeni dylvini na strani a,b,c.\n";
 cout<<"Prekarana e yglopolowqsha AL delqsha strana a na otsechki BL,CL.\n";
 cout<<"Tyrsim dylvini na tezi ostsechki BL, CL.\n";
 cout<<"Primer:ma=8,mb=5,mc=5 Izhod: CL=4 BL=4 \n";
 cout<<"Wywedete strana a: "; cin>>a;
 cout<<"Wywedete strana b: "; cin>>b; 
 cout<<"Wywedete strana c: "; cin>>c;
 k=a /(b+c);
 m = c*k;
 cout<<" otsechka CL: "<<m<<endl;//CL   
 n = b*k; 
 cout<<" otsechka BL: "<<n<<endl;//BL
system ("pause");
return 0;
}//programa  yglopolowqsha - otsechki 

Начало на страницата

ъглополовяща - вписана окръжност

Имаме правоъгълен триъгълник ABC с вписана в него окръжност. От връх C (прав ъгъл) е спусната права през центъра на вписаната окръжност, която дели хипотенузата на две части с дължина m и n. Търсим r - радиус на вписаната в триъгълника окръжност.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{double m,n,a,b,c,r;
 cout<<"Imame prawoygylen triygylnik s yglopolowqsha ot wyrha na prawiq \n";
 cout<<"ygyl, koqto deli hipotenuzata na dwe chasti s dylvina m i n.\n";
 cout<<"Tyrsim r - radius na wpisanata w tozi triygylnik okryvnost.\n";
 cout<<"Primer: m=11, n=13 Izhod r=4.91194\n";
 cout<<"Wywedete m: "; cin>>m;
 cout<<"Wywedete n: "; cin>>n;
 c=n+m;//hipotenuza   
//a/b = m/n - swojstwo na yglopolowqsha   
 b=sqrt(c*c*n*n /(m*m +n*n));
 cout<<"b = "<<b<<endl;//katet b
 a=b*m/n;cout<<"a = "<<a<<endl;//katet a 
//r= 2*S/(a+b+c) = 2*(a*b/2)/(a+b+c) 
 r = a*b/(a+b+c);
 cout<<"radius na wpisana okryvnost r: "<<r<<endl; 
system ("pause");
return 0;
 }//kraj na programa yglopolowqsha

Обяснени и решени задачи с подобни алгоритми, функции и служебни думи са разгледани в страницата с електронни уроци по информатика - програмиране.
Илюстриране работата на характерни алгоритми можете да намерите в предоставените електронни помагала съдържащи решени задачи, примери.

Начало на страницата