Правоъгълен триъгълник - формула на Питагор

дължина на хипотенуза в правоъгълен триъгълник – формула на Питагор
лице на правоъгълен триъгълник - височина и проекции на катети
лице на правоъгълен триъгълник - хипотенуза и проекция на единия катет
лице на равнобедрен триъгълник - периметър и средна основа
периметър на равнобедрен триъгълник - основа и ъгъл при върха

Триъгълник е равнинна фигура с три страни, свързващи всеки от неговите върхове. Пресечните точки на страните се наричат върхове на триъгълника. За всяка страна от един триъгълник има два прилежащи ъгъла, за които страната се явява рамо и един срещулежащ ъгъл. За всеки триъгълник важи правилото срещу равни страни лежат равни ъгли - обратното твърдение също е вярно. Ако разглеждаме отношения между дължини на страните, то всеки триъгълник може да бъде един от следните видове: Равностранен триъгълник: страните му са равни; всички вътрешни ъгли са равни на 60 градуса; медиани, ъглополовящи и височини са равни по дължина и съвпадат. Два равностранни триъгълника са винаги подобни. Равнобедрен триъгълник: две от страните му са равни по дължина и се наричат бедра, а третата страна –основа. Височината, медианата и ъглополовящата към основата съвпадат. Двата ъгъла сключени между бедро и основа са равни. Разностранен триъгълник: трите му страни са с различна дължина, трите ъгъла са различни. Ако дължини на страни в триъгълник са; a,b,c а полупериметъра p=(a+b+c)/2, то дължината на всяка страна от триъгълника е по-малка от полупериметъра p. Ще отбелязваме срещулежащите ъгли за всяка от страните в триъгълника с главни латински букви, а с R радиуса на описаната около триъгълника окръжност. Така лице на триъгълник S:
S = 0.5*a*b*sin(C) = 0.5*a*c*sin(B) = 0.5*b*c*sin(A)
S = R*R*sin(A)*sin(B)*sin(C) = a*b*c / (4*R)

Правият ъгъл е равен на 90 градуса. Сумата от всички вътрешни ъгли в един триъгълник е 180 градуса. Ако разглеждаме отношения между произволен ъгъл в триъгълник и правия ъгъл, то всеки триъгълник може да бъде един от следните видове: Остроъгълен триъгълник – всеки ъгъл е по-малък от 90 градуса. Правоъгълен триъгълник – един от ъглите е прав. Срещулежащата страна срещу правия ъгъл се нарича хипотенуза c, а останалите две страни катети a,b.
c*c = a*a +b*b - формула на Питагор
Височината към хипотенузата я дели на две части, представляващи проекции на бедрата: hc*hc = m * n c= m + n
Ако m е проекция на катета a, a n е проекция на катета b, c е хипотенуза, то следствие на Питагоровата теоремата е:
a*a = m*c, както и b*b = n*c
Чрез тригонометрични функции: a = c*sin(A) = c*cos(B); b = c*sin(B) = c*cos(A) a = b*tan(A); b = a*tan(B)
Тъпоъгълен триъгълник – един от ъглите е по-голям от 90 градуса. Височина в триъгълник е най-късото разстояние между връх на триъгълник и срещулежащата му страна. Общата точка между височината и страната се нарича пета на височината. Пресечната точка на височините в триъгълник се нарича ортоцентър. Ако триъгълникът е тъпоъгълен ортоцентъра лежи извън триъгълника – получава се чрез продължение на височините. Ако триъгълникът е правоъгълен то ортоцентъра съвпада с върха на правия ъгъл. Ъглополовяща или бисектриса е права деляща ъгъл на две равни части. Всяка точка от дадена ъглополовяща отстои на равни разстояния от двете рамена на ъгъла. В триъгълник с дължини на страни a,b,c е спусната ъглополовяща La от ъгъла срещулежащ на страната а. Тя дели страната а на две отсечки с дължини m,n.
ъглополовяща La = sqrt(b*c -m*n), a=m+n;
ъглополовяща Lb = sqrt(a*c -m*n), b=m+n;
ъглополовяща Lc = sqrt(a*b -m*n), c=m+n.
Полупериметър на триъгълник : p =(a+b+c)/2
ъглополовяща La= 2*sqrt( b*c*p*(p-a) )/(b+c)
ъглополовяща Lb= 2*sqrt( a*c*p*(p-b) )/(a+c)
ъглополовяща Lc= 2*sqrt( a*b*p*(p-c) )/(a+b)
Тази формула може да се приложи съответно за всяка ъглополовяща в разглеждания триъгълник.
Медиана в триъгълник е отсечка свързваща връх на триъгълник със средата на срещулежащата му страна. Пресечната точка на медианите в триъгълник се нарича медицентър или център на тежестта. Дължините на медианите Ma, Mb, Mc към страните на триъгълника a,b,c мога да се изразят със следните формули:
медиана Ma=0.5*sqrt(2*b*b + 2*c*c - a*a);
медиана Mb=0.5*sqrt(2*a*a + 2*c*c - b*b);
медиана Mc=0.5*sqrt(2*a*a + 2*b*b - c*c);
Обратно: страните на триъгълник a,b,c могат да се изразят чрез дължините на медианите в същия триъгълник:
a=2*sqrt(2*Mb*Mb + 2*Mc*Mc - Ma*Ma)/3;
b=2*sqrt(2*Ma*Ma + 2*Mc*Mc - Mb*Mb)/3;
c=2*sqrt(2*Ma*Ma + 2*Mb*Mb - Mc*Mc)/3;

Начало на страницата

дължина на хипотенуза в правоъгълен триъгълник – формула на Питагор

Изчисляване дължина на хипотенуза в правоъгълен триъгълник чрез формула на Питагор е в основата на множество задачи по математика и информатика.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main ()
{double a,b,c,p,lice,hc;
  cout<<"Da se systawi programa, chrez koqto se wywevdat 2 realni chisla: a,b.\n";
  cout<<"Chislata a,b,c sa dylvini na kateti w prawoygylen triygylnik. \n";
  cout<<"Programata da izchislqwaa dylvina na hipotenuza, lice na \n";
  cout<<" triygylnik i wisochinite kym wsqka ot straniti mu.\n";
  cout<<"Izpolzwajte formula na Pitagor.\n";
  cout<<"Primer: 3,4 Izhod hipotenuza 5, lice 6, wisochini 2.4; 3; 4 \n";
  cout<<"Wywedete strana a: ";cin>>a;
 cout<<"Wywedete strana b: ";cin>>b;
//c*c = a*a + b*b formula na Pitagor 
  c=sqrt(a*a+b*b);// hipotenuza
  cout<<" dylvina na hipotenuza : "<<c<<endl;
  lice=a*b/2;// S=c*hc/2
  cout<<" lice na triygylnik : "<<lice<<endl;
  hc=(2*lice)/c;
  cout<<"wisochinata kym hipotenuza  "<<hc<<endl;
//wisochina kym katet w prawoygylen triygylnik e drugiq katet
  cout<<"wisochina kym stranata "<<a<<" e: "<<b<<endl;
  cout<<"wisochina kym stranata "<<b<<" e: "<<a<<endl;
 system ("pause");
 return 0;
}//kraj na programa triygylnik - formula na Pitagor 

Начало на страницата

лице на правоъгълен триъгълник - височина и проекции на катети

Даден е правоъгълен триъгълник с височина към хипотенузата. Петата на тази височина дели хипотенузата на две отсечки съответно с дължини p и q. Всяка от тези отсечки представлява проекция на съответните катети в този правоъгълен триъгълник.
Зависимостта между височината към хипотенузата и проекциите на катетите е: h*h=p*q. Това е едно от следствията в теоремата на Питагор.
Сумата от двете проекции дава дължина на хипотенуза в този правоъгълен триъгълник. Лице на триъгълник ще изчислим по формулата S = c*hc/2.

Да разгледаме следната задача: Даден е правоъгълен триъгълник, за който се знае, че височината към хипотенузата я дели на две отсечки с дължина p и q. Търси се лице на триъгълник. Пример: 5,5 Изход 25

Следващата примерна програма дава решение на задача за изчисляване лице на правоъгълен триъгълник по въведена височина и проекции на катети.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

 double lice (int a, int b)
 {double h,S;
  int c;
  c=a+b;
  cout<<"Dylvina na hipotenuzata: "<<c<<endl;
  h=sqrt(a*b);
  cout<<"Dylvina na wisochinata: "<<h<<endl; 
  S=h*c/2;
  return S;
}// lice na triygylnik 

int main ()
{double S;
int a,b;
char ose;
  cout<<"Imame prawoygylen triygylnik, za kojto sa wywedeni proekciite na\n";
  cout<<"dwata kateta wyrhu hipotenuzata. Tyrsim S - lice na triygylnik.\n";
  cout<<"Primer: 5,5 Izhod 25\n"; 
  do {
   cout<<"Wywedete proekciqta na kateta a: ";cin>>a;
   cout<<"Wywedete proekciqta na kateta b: ";cin>>b;
   S=lice (a,b);
   cout<<"Lice na triygylnik : "<<S<<endl; 
   cout<<"She wywevdate li drugi danni <y/n>: ";cin>>ose;
  } while (ose=='y');
 system("pause");
 return 0;
}//kraj na programa  lice na triygylnik 

Начало на страницата

лице на правоъгълен триъгълник - хипотенуза и проекция на единия катет

Имаме правоъгълен триъгълник, за който са въведени дължина на хипотенуза c и дължината на проекцията m на един от катетите. Търсим лице S на правоъгълния триъгълник.

Квадратът на катета a е равен на произведението от проекцията върху хипотенузата m и хипотенузата c a*a=m*c. Чрез теорема на Питагор намираме втория катет b*b = c*c - a*a. лице на правоъгълен триъгълник S = a*b/2

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double Lice (double c, double m)
{ double a,b,S;
 a=sqrt(m*c); //ediniq katet
 b=sqrt(c*c-m*c);//wtoriq katet po Pitagor
 S=a*b/2;//poluproizwedenieto na dwata kateta
 return S;
}// triygylnik Pitagor 

int main()
{ double c,m,S;
 char ose;
 cout<<"Imame prawoygylen triygylnik za kojto sa wywedeni hipotenuza C i\n";
 cout<<"proekciqta m na ediniq ot katetite wyrhu hipotenuzata w tozi triygylnik.\n";
 cout<<"Tyrsim lice na syshiq triygylnik.\n";
 cout<<"Primer: C=10 m=3 Izhod S=22.9129 \n";
 do {
   cout<<"Wywedete dylvina na hipotenuza ";cin>>c;  
   cout<<"Wywedete dylvina na proekciq ";cin>>m;
   S=Lice(c,m);
   if (S) cout<<" lice na triygylnik : "<<S<<endl;
   else cout<<"Wywedeni sa nekorektni danni!\n";
   cout<<"She wywevdate li drugi danni <y/n>: ";cin>>ose;
} while (ose=='y');
system ("pause");
return 0;
}//kraj na programa triygylnik Pitagor  

Начало на страницата

лице на равнобедрен триъгълник - периметър и средна основа

Имаме равнобедрен триъгълник с въведени: P - периметър и Lср - дължина на средна отсечка, успоредна на основата в този равнобедрен триъгълник. Търсим лице на триъгълник. P и Lср са реални числа от интервала [1..101].

Алгоритъм

Дължината на страната, в случая основата на равнобедрения триъгълник е 2 пъти дължината на средната отсечка. Така a = P - 2*Lср. Дължините на двете бедра са равни - по условие триъгълника е равнобедрен. Така дължината на бедрото b = (P-2*Lср)/2. Изчислени са и трите страни на триъгълника. Ще използваме формула на Херон: S = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-b)), където p = P/2. Пример: P = 22; Lср = 4 Изход: Лице S = 22.9783

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double Lice (double P, double sred)
{ double b,c,p,S;
 c=2*sred;//osnowa ma rawnobedren triygylnik 
 b=(P-c)/2;//dwete bedra sa s rawna dylvina
 p=P/2; //poluperimetyr na triygylnik 
 S=0;//
 if (p>c && p>b) //ako poluperimetyra e po-golqm ot wsqka edna ot stranite
 { S=sqrt(p*(p-c)*(p-b)*(p-b));// Heron 
}//formula na Heron za lice na  triygylnik po 3 strani
 return S;
}// lice na triygylnik po Heron 

int main()
{ double Asred, P,S;
  char ose;
  cout<<"Imate rawnobedren triygylnik za kojto sa wywedeni perimetyr P i\n";
  cout<<"dylvina na srednata otsechka Asred usporedna na osnowata na\n";
  cout<<" tozi triygylnik. Tyrsim lice na syshiq triygylnik.\n";
  cout<<"Primer: P=22 Asred=4 Izhod S= 22.9783\n";
 do {
   cout<<"Wywedete perimetyr na triygylnik: ";cin>>P;  
   cout<<"Wywedete dylvina na srednata otsechka: ";cin>>Asred;
   S=Lice(P,Asred);
   if (S) cout<<" lice na triygylnik : "<<S<<endl;
   else cout<<"Wywedeni sa nekorektni danni!\n";
   cout<<"She wywevdate li drugi danni <y/n>: ";cin>>ose;
} while (ose=='y');
system ("pause");
return 0;
}//kraj na programa triygylnik Heron  

Начало на страницата

периметър на равнобедрен триъгълник - основа и ъгъл при върха

Да разгледаме следната задача: имаме равнобедрен триъгълник определен чрез дължина на основата и срещулежащия му ъгъл. Търсим S лице и P периметър на триъгълник.

Алгоритъмът за решение се основава на следните зависимости: Височината към основата на равнобедрен триъгълник е и медиана. Височината към основата на равнобедрен триъгълник съвпада с ъглополовящата. Формира се нов правоъгълен триъгълник със страни: бедро (хипотенуза), катет - височина към основата, катет - половината от дължината на основата и ъгли: ъгъл при основата, половината от ъгъла срещу основата.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double const pi=3.141592;


double gradus_radian()
{ double radian, gradus;
  do { //zashita po whod - ygyl w interwala 0 < C < 180
      cout<<"Wywedete stojnost za ygyl w gradusi: ";cin>>gradus;
  } while (gradus<=0 && gradus>=180);
   radian=pi*gradus/180;//preobrazuwane na ygyl ot gradusi w radian
return radian;
}

int main()
{double S,P,C,b,h;
 int a;
  char ose;
  cout<<"Daden e rawnobedren triygylnik s a - dylvina na osnowata i C - ygyl\n"; 
  cout<<"pri wyrha w gradusi. Tyrsim S lice i P perimetyr na tozi triygylnik.\n";
  cout<<"Da se systawi programa, chrez koqto se wywevdat a,C - estestweni\n";
  cout<<"chisla ot interwala [1..101] i se izwevdat S i P.\n";
  cout<<"Primer 5, 60 Izhod S=10.8253; P= 15\n";
  do {
  cout<<"Wywedete dylvina na osnowata: ";cin>>a;
  C=gradus_radian();//wywevdane na ygyl w gradusi i preobrazuwane w radiani
  h=0.5*a/tan(0.5*C);// tan(0.5*C)=a/h ot triygylnik wisochina kym osnowata-bedro
  cout<<"wisochina kym osnowata: "<<h<<endl;
  b=0.5*a/sin(0.5*C); // bedro na rawnobedren  triygylnik 
  S=h*a/2;//lice na  triygylnik 0.5 * strana * wisochinata kym neq
  cout<<" lice na triygylnik : "<<S<<endl;
  P=a+2*b;//w rawnobedreniq  triygylnik dwete strani - bedrata sa rawni
  cout<<" perimetyr na triygylnik: "<<P<<endl;
  cout<<"She wywevdate li drugi danni <y/n>: ";cin>>ose;
} while (ose=='y');
  system("pause");
  return 0;
}//kraj rawnobedren triygylnik 

Обяснени и решени задачи с подобни алгоритми, функции и служебни думи са разгледани в страницата с електронни уроци по информатика - програмиране.
Илюстриране работата на характерни алгоритми можете да намерите в предоставените електронни помагала съдържащи решени задачи, примери.

Начало на страницата