Перпендикуляр - височина в триъгълник, успоредник, трапец

лице на успоредник по две височини
периметър на триъгълник по две височини
периметър на равнобедрен трапец по две височини
периметър на успоредник по две височини
височина и основи на трапец
височина на трапец по въведени лице и средна основа
височини в триъгълник - 2 ъгъла и радиус

Най-общо под перпендикуляр ще разбираме права, която пресича под прав ъгъл друга права. Най-малкото разстояние между точка и права е дължината на перпендикуляра спуснат от точката към правата. В геометрията често се изполва понятието височина, което има същото значение както и перпендикуляр. Пример: височина в триъгълник е перпендикулярът спуснат от връх в триъгълника към срещулежащата страна или нейно продължение. Пресечната точка на височината (перпендикуляра) с тази страна ще наричаме пета на тази височина, а страната към която е спусната - основа към височината. При правоъгълен триъгълник дължината на единия катет е и височина към другия катет. Аналогичен е случая с успоредник, трапец, ромб. При правоъгълник страната е и височина. Друго сходно понятие на перпендикуляр е апотема в многоъгълник. Апотема на многоъгълник е перпендикуляра от точка, представляваща центъра на многоъгълника, към някоя от неговите страни. За отделните фигури височината има различни свойства - в равностранен триъгълник височина към произволна страна има същата дължина както ъглополовящата и медианата.

лице на успоредник по две височини

Даден е успоредник ABCD с въведени дължини на страни AB, AD, и остър ъгъл DAB. Към страна BC е спусната височина DM, а към страна AD е спусната височина BN. Търсим лице на четириъгълника BNDM.

Алгоритъм:
Четириъгълникът BNDM е правоъгълник - два от срещулежащите ъгли са прави, а срещулежащите страни са две по две успоредни и равни. Така височина DM е равна на височина BN. Разглеждаме правоъгълен триъгълник BAN:
катет BN = AB*sin(DAB) - височина в успоредника;
катет АN = AB*cos(DAB);
Sban = AN*BN/2 - лице на правоъгълен триъгълник
Sabcd = AD * BN - лисе на успоредник страна по височина към нея
Sbndm = Sabcd - 2*Sban - търсеното лице

  #include <iostream>
  #include <cmath> 

  using namespace std;
  double const pi=3.141592;
  int main()
  {double ab,ad, yg, dab, bn, an, Sabcd, Sbndm;
    cout<<"Imame usporednik ABCD s wywedeni strani AB,AD i ostyr ygy mevdu tqh DAB.\n";
    cout<<"Kym strana BC e spusnata wisochina DM, a kym strana AD - wisochina BN.:\n";
    cout<<"Tyrsim lice na chetiriygylnika BNDM. \n";
    cout<<"Primer: AB = 10, AD = 10 DAB = 30 Izhod Sbndm = 6.69873\n";
    cout<<"Wywedete strana AD: ";cin>>ad;
    cout<<"Wywedete strana AB: ";cin>>ab;
    cout<<"Wywedete ygyl DAB: ";cin>>yg;
    dab = yg*pi/180;
    bn = ab*sin(dab);// wisochina
    an = ab*cos(dab);
    Sabcd = ad*bn;//strana po wisochina
    Sbndm = Sabcd - an*bn;
    cout<<" lice na prawoygylnik "<<Sbndm<<endl;
  system ("pause");
  return 0;
  }// kraj na programa wisochina i usporednik

Начало на страницата

периметър на триъгълник по две височини

Имаме остроъгълен триъгълник ABC. Въведени са дължините на височина BN и височина CM. Двете височини се пресичат в точка O с остър ъгъл BOM. Търсим периметър на този триъгълник.

Алгоритъм
По условие дадения триъгълник е остроъгълен - петата на всяка негова височина лежи на съответна страна.
Разглеждаме двата правоъгълни триъгълника BMO и BNA - те се подобни.
Имат един общ остър ъгъл MBO = ABN. Така ъгъл BAC = BOM
Разглеждаме правоъгълния триъгълник AMC.
страна AC = CM / sin(BOM)
Разглеждаме правоъгълния триъгълник ANB.
страна AB = BN / sin(BOM)
AN = sqrt (AB*AB - BN*BN) - правоъгълен триъгълник ANB
NC = AC - AN
BC = sqrt (NC*NC + BN*BN) - правоъгълен триъгълник BNC
Може да се ползва синусова теорема за изчисляване на останалите ъгли 2*R = a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin (C)

  #include <iostream>
  #include <cmath> 
  using namespace std;
  double const pi=3.141592;
  int main()

  { double P, AB, AC, BC,CM, BN, AN, NC,yg, BOM;
     cout<<"Imame ostroygylen triygylnik s wywedeni dylvini na wisochini CM i BN,\n";
     cout<<"kakto i ostriq ygyl mevdu tqh BOM - t.O e presechna tochka mevdu CM i BN.\n";
     cout<<"Tyrsim P - perimetyr na triygylnik ABC.\n";
     cout<<"Primer: CM = 6, BN = 6 BOM = 60  Izhod P = 20.7846\n";
     cout<<"Wywedete wisochina CM: ";cin>>CM;
     cout<<"Wywedete wisochina BN: ";cin>>BN;
     cout<<"Wywedete ygyl BOM: ";cin>>yg;
     BOM = yg*pi/180;//ygyla w radiani
     AC = CM / sin(BOM);
     AB = BN / sin(BOM);
     AN = sqrt (AB*AB - BN*BN); // teorema na Pitagor BNA
     NC = AC - AN;
     BC = sqrt (NC*NC + BN*BN);  // teorema na Pitagor BNC
     P = AB + BC + AC;
     cout<<" AB = "<<AB<<" BC = "<<BC<<" AC = "<<AC<<endl;
     cout<<" Perimetyr na triygylnik "<<P<<endl;
  system ("pause");
  return 0;
  }// kraj na programa wisochina w triygylnik

Начало на страницата

периметър на равнобедрен трапец по две височини

Имаме равнобедрен трапец ABCD, за който са въведени височина към голямата основа DM височина към бедрото BN, както и остър ъгъл между тях BON. Търсим периметър на този равнобедрен трапец.

Алгоритъм
Разглеждаме двата правоъгълни триъгълника BMO и ANB - те се подобни I-ви признак за подобие.
Имат един общ остър ъгъл. Така ъгъл BAN = ъгъл BOM
Разглеждаме правоъгълен триъгълник ANB.
страна AB = BN / sin(BOM)
Разглеждаме правоъгълен триъгълник AMD:
страна AD = DM / sin(BOM);
страна AM = DM / tan(BOM);
страна CD = AB - 2*AM;
периметър на равнобедрен трапец P = AB + CD + 2* AD

  #include <iostream>
  #include <cmath> 
  using namespace std;

  double const pi=3.141592;
  int main()
  { double P, ab, ad, cd,am,dm, bn, yg, bom;
     cout<<"Imame rawnobedren trapec ABCD s wywedeni dylvini na wisochini DM i BN,\n";
     cout<<"kakto i ostriq ygyl mevdu tqh BOM - t.O e presechna tochka mevdu DM i BN.\n";
     cout<<"Tyrsim P - perimetyr na tozi rawnobedren trapec.\n";
     cout<<"Primer: DM = 10, BN = 15 BOM = 45  Izhod P = 50.7107\n";
     cout<<"Wywedete wisochina DM: ";cin>>dm;
     cout<<"Wywedete wisochina BN: ";cin>>bn;
     cout<<"Wywedete ygyl BOM: ";cin>>yg;
     bom = yg*pi/180;//ygyla w radiani
     ab = bn / sin(bom);
     ad = dm / sin(bom);
     am = dm / tan(bom);
     cd = ab - 2*am;//swojstwo na rawnobedren trapec
     P = ab + cd + 2*ad;
     cout<<" AB = "<<ab<<" AD = "<<ad<<" CD = "<<cd<<endl;
     cout<<" Perimetyr na rawnobedren trapec "<<P<<endl;
  system ("pause");
  return 0;
  }// kraj na programa wisochina w rawnobedren trapec

Начало на страницата

периметър на успоредник по две височини

Имаме успоредник, за който са въведени дължини на височина DM - към страна AB, както и височина DN към страна BC. Въведен е също и остър ъгъл MDN. Търсим P - периметър на този успоредник.

Алгоритъм
Разглеждаме четириъгълник MBND - с два прави ъгъла.
Сумата от ъгъл MBN и ъгъл MDN е 180 градуса.
Сумата от ъгъл BAD и ъгъл ABC e 180 градуса - като прилежащи към една и съща стрaна в този успоредник.
Следователно ъгъл MDN = BAD = BCD - срещулежащи ъгъл в успоредник.
Разглеждаме правоъгълен триъгълник AMD:
AD = DM / sin(MDN)
Разглеждаме правоъгълен триъгълник CND:
CD = DN / sin(MDN)

  #include <iostream>
  #include <cmath> 
  using namespace std;
  double const pi=3.141592;

  int main()
  { double P, ad, cd, dm, dn, yg, mdn;
     cout<<"Imame usporednik ABCD s wywedeni dylvina na wisochina DM kym strana AB i \n";
     cout<<"wisochina DN kym strana BC,  kakto i ostriq ygyl mevdu tqh MDN.\n";
     cout<<"Tyrsim P - perimetyr na tozi usporednik.\n";
     cout<<"Primer: DM = 10, DN = 15 MDN = 30 Izhod P = 100\n";
     cout<<"Wywedete wisochina DM: ";cin>>dm;
     cout<<"Wywedete wisochina DN: ";cin>>dn;
     cout<<"Wywedete ygyl MDN: ";cin>>yg;
     mdn = yg*pi/180;//ygyla w radiani
     ad = dm / sin(mdn);
     cd = dn / sin(mdn);
     P =2*( ad + cd );
     cout<<" AD = "<<ad<<" CD = "<<cd<<endl;
     cout<<" perimetyr na usporednik "<<P<<endl;
  system ("pause");
  return 0;
  }// kraj na programa wisochina w usporednik

Начало на страницата

височина и основи на трапец

Имаме трапец ABCD, за който са въведени дължини на основи AB,CD, както и неговата височина CH. Търсим диаметър d на описаната около този трапец окръжност.

Алгоритъм
Около четириъгълник може да се опише окръжност, ако сумата от двойките срещулежащи ъгли е равна.
Около трапец може да се опише окръжност, ако той е равнобедрен.
Разглеждаме основите на този трапец като две успоредни хорди, между които лежи центъра на описаната окръжност.
Можем да разглеждаме дадения трапец като съставен от два триъгълника - разделянето е с диагонал в трапеца.
Единият от тези триъгълници е тъпоъгълен - с малката основа CD и центърът на описаната окръжност е извън него.
Другият триъгълник е остроъгълен - с голямата основа AB.
Описаната окръжност около триъгълника е със същия диаметър, както описаната окръжност около този трапец.
От връх C спускаме височина към основа AB.
Разглеждаме вписания триъгълник ABC, като съставен от два правоъгълни триъгълника AHC, BHC
основа AB = AH + BH;
AH = (AB + CD) / 2 - от свойство на равнобедрен трапец;
BH = (AB - CD) / 2 - от свойство на равнобедрен трапец;
ъгъл ACH = atan (AH / CH) - правоъгълен триъгълник AHC;
ъгъл BCH = atan (BH / CH) - правоъгълен триъгълник BHC;
ъгъл ACB = ACH + BCH;
d = AB / sin (ACB) - диаметър на описана окръжност около този триъгълник ABC и трапец ABCD

Вариант 2
AC = sqrt (AH * AH + CH * CH) - хипотенуза в правоъгълен триъгълник AHC
BC = sqrt (BH * BH + CH * CH) - хипотенуза в правоъгълен триъгълник BHC
sin(HBC) = CH / BC правоъгълен триъгълник BHC
ъгъл ABC = HBC
d = AC / sin (ABC) - диаметър на описана окръжност около този триъгълник ABC и трапец ABCD

 #include <iostream>  
 #include <cmath> 
 using namespace std;  
 
 int main()  
 { double AB, CD,CH, AH, BH,ACB, d;  
    cout<<"Imame prawoygylen trapec s wywedeni osnowi AB,CD i wisochina CH.\n";  
    cout<<"Okolo tozi trapec e opisana okryvnost.\n";  
    cout<<"Tyrsim d - diaametyr na opisanata okryvnost:\n";  
    cout<<"Primer: AB = 10; CD = 4; CH = 5 Izhod d=10.0319 \n";  
    cout<<"Wywedete osnowa AB: ";cin>>AB;  
    cout<<"Wywedete osnowa CD: ";cin>>CD;  
    cout<<"Wywedete wisochina CH: ";cin>>CH;  
    AH = (AB + CD) / 2;  
    BH = (AB - CD) / 2;   
    ACB = atan (AH / CH) + atan (BH / CH);  
    d = AB / sin (ACB);  
    cout<<" diametyr na opisna okryvnost "<<d<<endl;  
 system ("pause");  
 return 0;  
 }// kraj na programa wisochina  

Обяснени и решени задачи с подобни алгоритми, функции и служебни думи са разгледани в страницата с електронни уроци по информатика - програмиране.
Илюстриране работата на характерни алгоритми можете да намерите в предоставените електронни помагала съдържащи решени задачи, примери.

Начало на страницата