Взаимно разположение на две окръжности

взаимно разположение на две окръжности
две окръжности - вписани
две окръжности - описана окръжност
две окръжности - обща хорда

Дадени са дължините на радиусите на две окръжности R1, R2, както и координатите на техните центрове O1(X1,Y2) и O2(X2,Y2), всички те са естествени числа от интервала [1..1001]. Търсим взаимното разположение на тези две окръжности.

Алгоритъм:
Всички разсъждения са на основа сравнение - разстояние между центровете на тези две окръжности и сумата/разликата от дължините на техните радиуси. От данните за координатите на двата центъра се разбира дали двете окръжности са:
а) концентрични (центровете им съвпадат) или
б) ексцентрични (центровете им не съвпадат).

Ако двете окръжности са концентрични има следните възможни положение:
а) двете окръжности са идентични - ако имат еднакви радиуси;
б) двете окръжности са вписани една в друга - ако имат различни радиуси.

За точното определяне на останалите случаи трябва да се изчисли тяхното междуцентрово разстояние - по формулата на Питагор.
L = sqrt ((X1-X2)*(X1-X2) + (Y1-Y2)*(Y1-Y2)) - корен квадратен от квадратите на разликите на координатите по абсциса и ордината на двата центъра.
В следващите разсъждения ще използваме абсолютна стойност на разликата от двата радиуса - abs(R1-R2)
Ако окръжностите са ексцентрични възможностите за тяхното взаимно положение са доста повече:
а) двете окръжности са вписани (лежат една в друга) и нямат допирна точка, ако междуцентровото разстояние е по-малко от абсолютната стойност на разликата между двата радиуса: L<abs(R1-R2)
б) двете окръжности са вписани, но имат една допирна точка L=abs(R1-R2) - допират се вътрешно, където междуцентровото разстояние е равно на абсолютната стойност от разликата между двата радиуса
в) двете окръжности се пресичат при (L>abs(R1-R2) ) and (L< (R1+R2)) - междуцентровото разстояние е по-голямо от абсолютната стойност на разликата от двата радиуса, но е по-малко от тяхната сума;
г) двете окръжности не са вписани, но имат една външна допирна точка L=R1+R2 - допират се външно междуцентровото разстояние е равно на сумата от двата радиуса
д) двете окръжности не са вписани и нямат допирна точка L>R1+R2

Следващата примерна програма дава решена задача за взаимно разположение на две окръжности като се използва сравнение между квадратите (втората степен) на тяхното междуцентрово разстояние, сумата и разликата на двата радиуса.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main ()
{ struct okr {int x,  y,  R;} o1,o2;
  int dist, rad, razl; 
  cout<<"Imate danni za dwe okryvnosti: koordinati za centyr Ox,Oy,i radius R.\n";
  cout<<"Da se systawi programa, chrez koqto se wywevdat koordinati na centyra\n";
  cout<<"po abscisa i ordinata za dwete okryvnosti, kakto i tehnite radiusi.\n";
  cout<<"Programata da izwede wzaimnoto polovenie na tezi dwe okryvnosti.\n";
  cout<<"Primer: Ox1=0, Oy1=0; R1=5, Ox2=0, oy2=10, R2=5 Izhhod: Dopirat se wynshno.\n";
  cout<<"Wywedete danni za Ox1: ";cin>>o1.x;
  cout<<"Wywedete danni za Oy1: ";cin>>o1.y;
  cout<<"Wywedete danni za R1: ";cin>>o1.R;
  cout<<"Wywedete danni za Ox2: ";cin>>o2.x;
  cout<<"Wywedete danni za Oy2: ";cin>>o2.y;
  cout<<"Wywedete danni za R2: ";cin>>o2.R;
  dist=(o1.x-o2.x)*(o1.x-o2.x) + (o1.y-o2.y)*(o1.y-o2.y);
  rad=(o1.R + o2.R)*(o1.R + o2.R);
  if (o1.R >o2.R) razl= (o1.R - o2.R)*(o1.R - o2.R); 
     else razl= (o2.R -o1.R)*(o2.R -o1.R);
   cout<<"dist*dist = "<<dist<<endl;
   cout<<"rad*rad = "<<rad<<endl;
   cout<<"raxl*razl = "<<razl<<endl;
  if (dist==rad) cout<<" dwete okryvnosti se dopirat wynshno.\n";
   else 
   { if (dist>rad) cout<<" dwete okryvnosti ne sa wpisani i nqmat obsha tochka.\n"; 
     else  //(dist<rad) - mevducentowoto razstoqnie < ot sumata na 2-ta radiusa
      {if (dist==razl) cout<<" dwete okryvnosti sa wpisani i se dopirat wytreshno.\n"; 
       if (dist<razl) cout<<" dwete okryvnosti sa wpisani i nqmat obsha tochka.\n"; 
       if (dist>razl) cout<<" dwete okryvnosti se presichat i imat 2 obshi tochki.\n";
      }   
   }
system ("pause");
return 0;
}//kraj na programa dwe okryvnosti

Начало на страницата

две окръжности - вписани

Имаме две окръжности съответно с център O и радиус R1 и с център Q и радиус R2 вписани една в друга, така че R1>R2, OQ<R1-R2<R1. Търсим радиусите R3>R4 на най-голямата и най-малката окръжност, вписани в по-голямата окръжност и едновременно допиращи се до окръжност с радиус R1 и окръжност с радиус R2.

Алгоритъм:
Ако са въведени координатите на центровете можем да изчислим междуцентровото разстояние на двете окръжности по теорема на Питагор.
Центровете на разглежданите окръжности лежат на една права.
Частен случай е OQ=0 - концентрични окръжности R3=R4=0.5*(R1-R2)
радиус на по-малката окръжност R4=0.5*(R1-OQ-R2);
радиус на по-голямата окръжност R3= (R1-R2-R4)
Следващата примерна програма дава решена задача за две окръжности - вписани:

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{ double R1,R2,R3,R4,OQ;
  cout<<"Imame dwe okryvnosti syotwetno okryvnost s centyr O i radius R1,\n"; 
  cout<<"okryvnost s centyr Q i radius R2, wpisani izcqlo edna w druga.\n";
  cout<<"Mevducntrowoto razstoqnie e w otnoshenie s dwata radiusa\n";
  cout<<"kakto sledwa: OQ<R1-R2<R1.\n";
  cout<<"Tyrsim radiusi na drugi dwe okryvnosti izcqlo wpisani w okryvnost O\n";
  cout<<"i ednowremenno dopirashi se do okryvnosti O i Q, kakto i da imat\n";
  cout<<"wyzmovno naj-golemiq R3 i wyzmovno naj-malkiq R4 radius.\n";
  cout<<"Primer: R1=12, R2=4, OQ=6  Izgod 1, 7\n";
  cout<<"Wywedete radius R1: ";cin>>R1;
  cout<<"Wywedete radius R2: ";cin>>R2;
  cout<<"Wywedete mevducentrowo razstoqnie OQ: ";cin>>OQ;
  R4=0.5*(R1-OQ-R2);
  R3= (R1-R2-R4);
  cout<<"Naj-malkiqt radius e: "<<R4<<endl;
  cout<<"Naj-golemiqt radius e: "<<R3<<endl;
 system("pause");
  return 0;
}//dwe okryvnosti

Начало на страницата

две окръжности - описана окръжност

Две окръжности със зададени център O,Q и радиуси R1, R2, така че OQ >R1+R2. Двата радиуса не са непременно равни. Търсим други две окръжности с най-малкия възможен радиус R3,R4, така че да се допират до първите две окръжности, както следва: окръжност с радиус R3 да описва двете начални окръжности; окръжност с радиус R4 да се допира външно до двете двете начални окръжности.

Алгоритъм:
Центровете на разглежданите окръжности лежат на една права.
Ще разгледаме по-лекия вариант с въведено междуцентрово разстояние OQ.
R3 = 0.5*(OQ+R1+R2) - голямата, описваща окръжност
R4=0.5*(OQ-R1-R2) - малката окръжност
Следващата примерна програма дава решена задача за две окръжности - описани:

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{ double R1,R2,R3,R4,OQ;
  cout<<"Imame dwe okryvnosti syotwetno okryvnost s centyr O i radius R1,\n"; 
  cout<<"okryvnost s centyr Q i radius R2, taka che nqmat obsha tochka.\n";
  cout<<"Mevducntrowoto razstoqnie e w otnoshenie s dwata radiusa\n";
  cout<<"kakto sledwa: OQ>R1+R2 .\n";
  cout<<"Tyrsim radiusi na drugi dwe okryvnosti ednowremenno dopirashi\n"; 
  cout<<"se do okryvnosti O i Q i imashi wyzmovno naj-malkiq radius.\n";
  cout<<"Ednata okryvnost s radius R3 da opiswa syshestwuwashite okryvnosti, a\n";
  cout<<"wtorata okryvnost s radius R4 da ima samo po edna obsha tochka s\n";
  cout<<"pyrwite 2 okryvnosti.\n";
  cout<<"Primer: R1=12, R2=4, OQ=20  Izgod 2, 18\n";
  cout<<"Wywedete radius R1: ";cin>>R1;
  cout<<"Wywedete radius R2: ";cin>>R2;
  cout<<"Wywedete mevducentrowo razstoqnie OQ: ";cin>>OQ;
  R3 = 0.5*(OQ+R1+R2);
  R4 = 0.5*(OQ-R1-R2);
  cout<<"Naj-malkiqt radius e: "<<R4<<endl;
  cout<<"Naj-golemiqt radius e: "<<R3<<endl;
 system("pause");
  return 0;
}//dwe okryvnosti

Начало на страницата

две окръжности - обща хорда

Имаме две окръжности зададени с координати на център O(x,y) и Q(x,y) и съответно радиуси R1 и R2. Двата радиуса не са непременно равни. Двете окръжности се пресичат взаимно. Търсим дължината на общата хорда AB на двете окръжности.

Алгоритъм:
Ако се въвеждат координати на центът, то междуцентровото разстояние OQ се изчислява по теорема на Питагор.
Разглеждаме триъгълници OAQ и OBQ - еднакви 3-ти признак, т.к. страните на единия триъгълник са съответно равни на страните от другия триъгълник. Следователно ъгъл OQA=OQB.
Разглеждаме равнобедрен триъгълник AQB (бедрата са равни на R2), в който QH се явява ъглополовяща. Следователно QH е и височина към основата на равнобедрения триъгълник и негова медиана. Така AH=BH=AB/2.
Разглеждаме отново триъгълник OAQ с полупериметър p=0.5*(R1+R2+OQ)
лице на триъгълник Soaq=sqrt(p*(p-R1)*(p-R2)*(p-OQ) = OQ*AH/2.
дължина на обща хорда: AB=2*AH = 2*Soaq/OQ
Следващата примерна програма дава решена задача за две окръжности - обща хорда:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main()
{ double R1,R2,Soaq,ab,p,OQ;
  cout<<"Imame dwe wzaimno presichashi se okryvnosti syotwetno \n";
  cout<<"okryvnost s centyr O i radius R1,okryvnost s centyr Q i radius R2.";
  cout<<"Mevducntrowoto razstoqnie e w otnoshenie s dwata radiusa\n";
  cout<<"kakto sledwa: R1<R2<OQ<R1+R2.\n";
  cout<<"Tyrsim dylvina na tqhnata obsha horda AB.\n";
  cout<<"Primer: R1=3, R2=4, OQ=5 Izgod 2.4\n";
  cout<<"Wywedete radius na pyrwata okryvnost R1: ";cin>>R1;
  cout<<"Wywedete radius na wtorata okryvnost R2: ";cin>>R2;
  cout<<"Wywedete mevducentrowo razstoqnie OQ: ";cin>>OQ;
  p=(R1+R2+OQ)/2;
  Soaq=sqrt(p*(p-R1)*(p-R2)*(p-OQ));
  ab=2*Soaq/OQ;
  cout<<"dylvina na obsha horda: "<<ab<<endl;
 system("pause");
  return 0;
}//dwe okryvnosti

Обяснени и решени задачи с подобни алгоритми, функции и служебни думи са разгледани в страницата с електронни уроци по информатика - програмиране.
Илюстриране работата на характерни алгоритми можете да намерите в предоставените електронни помагала съдържащи решени задачи, примери.

Начало на страницата

Размер на шрифта

Търсене в сайта:

Спонсори

Изпълними приложения за

Взаимно разположение на две окръжности

две окръжности - вписани

две окръжности - описана окръжност

две окръжности - обща хорда